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Mathematics/Basic Calculus

미분의 응용

Ryuna (류준범) 2022. 3. 18. 16:59

이번 글에서는 미분의 응용에 대해 알아봅니다.

목차

1. 그래프의 개형
- 접선
- 평균값정리
- 함수의 증감과 도함수
- 극대 극소와 미분계수
- 함수의 볼록과 이계도함수
2. 미분의 응용
- 최대값과 최소값
- 속도와 가속도

작성하면서 참고한 자료

교양을 위한 대학 수학 1, 김성기 외
http://www.yes24.com/Product/Goods/92428551

 

교양을 위한 대학수학 1 - YES24

교양을 위한 대학수학 1

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그래프의 개형

함수의 그래프를 그리는 것은 미분이 직접적으로 이용되는 문제 중의 하나입니다.

접선

함수 \(f(x)\)가 \(x=a\)에서 미분가능할 때, 곡선 \(y=f(x)\) 위의 점 \((a, f(a))\)에서 접선의 기울기는 \(f'(a)\)입니다. 따라서 이 점에서 접선의 방정식은 $$y-f(a)=f'(a)(x-a)$$입니다.

접선의 방정식
함수 \(f(x)\)가 \(x=a\)에서 미분가능할 때, 곡선 \(y=f(x)\) 위의 점 \((a, f(a))\)에서 접선의 방정식은 $$y-f(a)=f'(a)(x-a)$$이다.


곡선의 방정식이 만약 음함수로 주어졌다면, 음함수 미분법을 사용해 접선의 방정식을 구할 수 있습니다.

평균값정리

닫힌구간 \([a,b]\)에서 연속인 함수 \(f(x)\)는 이 구간에서 최대값과 최소값을 가집니다. (최대최소정리) 이를 이용하면, 다음의 정리가 성립함을 알 수 있습니다.

롤의 정리
닫힌구간 \([a,b]\)에서 연속이고 열린구간 \((a,b)\)에서 미분가능한 함수 \(f(x)\)가 주어져 있다. 만일 \(f(a)=f(b)\)이면 \[f'(c)=0\]을 만족하는 \(c\)가 구간 \((a,b)\) 안에 적어도 하나 존재한다.


증명
함수 \(f(x)\)는 닫힌구간 \([a,b]\)에서 최대값 \(M\)과 최소값 \(m\)을 가진다. 먼저 \(M=m\)인 경우, \(f(x)\)는 구간 \([a,b]\)에서 상수함수이다. 따라서 모든 \(c\)에 대하여 \[f'(c)=0\quad(a<c<b)\]이므로 더 이상 증명할 것이 없다.
이제 \(M>m\)이라고 하자. 이 경우 \(f(a)=f(b)\)이므로 열린구간 \((a,b)\) 안의 한 점 \(c\)에 대하여 \[f(c)=M \textrm{ or }f(c)=m\]이 성립해야 한다.
만약 \(f(c)=M\)이면 \(c+h\in[a,b]\)인 모든 \(h\)에 대하여 \[f(c+h)\le f(c)\]이다. 따라서 \(h>0\)이면 \[\frac{f(c+h)-f(c)}{h}\le 0\]이고, \(h<0\)이면 \[\frac{f(c+h)-f(c)}{h}\ge 0\]이다. 그런데, 가정에서 \(f'(c)\)가 존재하므로 \[0\le\lim_{h\to0^{-}}\frac{f(c+h)-f(c)}{h}=f'(c)=\lim_{h\to0^{+}}\frac{f(c+h)-f(c)}{h}\le0\]이고, 따라서 \(f'(c)=0\)이다.
\(f(c)=m\)일 때도 같은 방법으로 보일 수 있다.

롤의 정리를 이용하면 다음의 정리를 보일 수 있습니다.

평균값정리
닫힌구간 \([a,b]\)에서 연속이고 열린구간 \((a,b)\)에서 미분가능한 함수 \(f(x)\)에 대하여 \[\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c)\]를 만족하는 \(c\)가 구간 \((a,b)\) 안에 적어도 하나 존재한다.

증명
롤의 정리를 이용해 증명하기 위해, 함수 \(g(x)\)를 \[g(x)=f(x)-f(b)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-b)\]와 같이 정의하자. 그러면 \(g(x)\)는 닫힌구간 \([a,b]\)에서 연속이고, 열린구간 \((a,b)\)에서 미분가능하고, \(g(a)=g(b)=0\)을 만족시킨다. 그러므로 롤의 정리를 적용할 수 있고, \[g'(c)=f'(c)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0\]을 만족하는 \(c\)가 열린구간 \((a,b)\) 안에 적어도 하나 존재한다. 따라서 그 \(c\)에 대해 \[\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c)\]가 성립함을 알 수 있다.

\(f'(c)\)는 점 \((c,f(c))\)에서 접선의 기울기입니다. 따라서 평균값정리는 함수 \(y=f(x)\)의 그래프에서 두 점 \((a,f(a)),(b,f(b))\)를 잇는 직선에 평행한 접선을 갖는 \(c\)가 열린구간 \((a,b)\) 안에 적어도 하나 존재함을 의미합니다.

함수의 증감과 도함수

만약 어떤 구간에서 항상 \(f'(x)>0\)이면, 평균값정리에 따라 그 구간의 임의의 점 \(a,b(a<b)\)에 대해 \[\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c)\quad(a<c<b)\]인 \(c\)가 존재합니다. 그런데 \(f'(c)>0\)이므로 \(f(b)>f(a)\)이고, \(f(x)\)는 그 구간에서 증가함을 알 수 있습니다.

도함수의 부호와 함수의 증감
함수 \(f(x)\)가 어떤 구간에서 미분가능하고, 그 구간에서 항상
(가) \(f'(x)>0\)이면, \(f(x)\)는 증가함수이다.
(나) \(f'(x)<0\)이면, \(f(x)\)는 감소함수이다.
(다) \(f'(x)=0\)이면, \(f(x)\)는 상수함수이다.

함수 \(y=f(x)\)의 그래프를 그릴 때, 도함수를 구하여 \(f'(x)=0\)이 되는 점들을 찾은 후 이를 기준으로 도함수의 부호를 조사합니다. 이러한 사항을 표로 나타낸 증감표를 그리면 조금 더 쉽습니다.

예제: 함수 \(f(x)=x^4+4x^3\)의 증감표
도함수를 구하면 \(f'(x)=4x^3+12x^2=4x^2(x+3)\)이므로 \(f(x)\)의 증감표는 다음과 같다.
\(x\) -3 0
\(f'(x)\) - 0 + 0 +
\(f(x)\) ↘︎ -27 ↗︎ 0 ↗︎
이 증감표를 이용하여 그래프의 개형을 그릴 수 있다.

극대 극소와 미분계수

함수 \(f(x)\)가 \(x=a\)를 포함하는 어떤 열린구간 안의 모든 \(x\)에 대하여 \(f(x)\)는 \(x=a\)에서 극대가 된다고 하고, 이 때 \(f(a)\)를 극대값이라 합니다. 즉 정의역을 좁히면 그 구간 내에서 (국소적으로) \(f(a)\)가 최대값이 된다는 의미입니다.

같은 방식으로 극소도 정의할 수 있습니다. 극대값과 극소값을 통틀어 극값이라 합니다.

미분가능한 함수 \(y=f(x)\)가 \(x=a\)에서 극대값을 가진다고 합시다. 그러면 \(a\)를 포함하는 적절한 구간 \((b,c)\) 위에서 다음 \[b<x<c\Rightarrow f(a)\ge f(x)\]이 성립합니다. 따라서 \(0<h<c-a\)이면 \[\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\le0\]이고, \(b-a<h<0\)이면 \[\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\ge0\]입니다. 결국 다음 부등식 \[\lim_{h\to0^{+}}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\le0\le\lim_{h\to0^{-}}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\]을 얻는데, \(f(x)\)가 \(x=a\)에서 미분가능하므로 \[f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=0\]이어야 합니다. \(x=a\)에서 극소값을 갖는 경우에도 마찬가지이므로, 다음 결론을 얻습니다.

미분가능한 함수의 극값
미분가능한 함수 \(y=f(x)\)가 \(x=a\)에서 극값을 가지면 \(f'(a)=0\)이다.


앞서 알아본 '도함수와 함수의 증감의 관계'와 종합하면, \(f(x)\)가 \(x=a\)의 왼쪽 구간에서 증가함수이고 \(x=a\)의 오른쪽 구간에서 감소함수일 때 \(f(a)\)는 극대값입니다. 반대의 경우는 극소값입니다.

미분가능하지 않은 함수의 경우 위 정리와 관계없이 극값을 가질 수 있습니다. 또, \(f'(a)=0\)이더라도 \(x=a\)에서 극값을 가지지 않을 수도 있습니다.

함수의 볼록과 이계도함수

이계도함수의 부호 또한 함수의 그래프와 관련이 있습니다.

함수 \(y=f(x)\)가 어떤 구간 위에서 이계도함수를 가지고 이 구간 위에서 \(f''(x)>0\)이라 합시다. 주어진 구간에서 임의의 두 수 \(a,b(a<b)\)와 \(a<t<b\)인 임의의 수 \(t\)를 잡습니다. 그러면 \(f(x)\)는 닫힌구간 \([a,t]\)에서 연속이고, 열린구간 \((a,t)\)에서 미분가능합니다. 따라서 평균값정리를 적용하면 \[\frac{f(t)-f(a)}{t-a}=f'(c)\quad(a<c<t)\]인 \(c\)가 존재합니다. 마찬가지 방법으로 하면 \[\frac{f(b)-f(t)}{b-t}=f'(d)\quad(t<d<b)\]인 \(d\)가 존재합니다. 그런데 \(f''(x)>0\)이라 가정했으므로 주어진 구간에서 \(f'(x)\)는 증가합니다. 이제 \(c<t<d\)이므로 \(f'(c)<f'(d)\)입니다. 따라서 \[\frac{f(t)-f(a)}{t-a}<\frac{f(b)-f(t)}{b-t}\]입니다.

이것의 의미는 \(a,t,b\)에 대응하는 곡선 위의 점들을 각각 \(A,T,B\)라고 하면, 선분 \(AT\)의 기울기가 선분 \(BT\)의 기울기보다 작다는 뜻입니다. 즉 임의의 점 \(T\)는 선분 \(AB\)의 아래쪽에 있고, 곡선의 호 \(AB\) 전체가 두 끝점을 제외하고 선분 \(AB\)의 아래쪽에 있음을 알 수 있습니다. 함수 \(y=f(x)\)의 그래프가 이런 성질을 가질 때 이 함수는 아래로 볼록하다고 합니다.

반대의 경우, 주어진 구간에서 \(f''(x)<0\)가 성립한다면 마찬가지 방법으로 곡선의 호 \(AB\)가 두 끝점을 제외하고 선분 \(AB\)의 위쪽에 있습니다. 이때 이 함수는 위로 볼록하다고 합니다.

이계도함수와 함수의 볼록
함수 \(f(x)\)가 어떤 구간에서 \(f''(x)\)를 가지며
(가) 이 구간에서 \(f''(x)>0\)이면, 곡선 \(y=f(x)\)는 이 구간에서 아래로 볼록하다.
(나) 이 구간에서 \(f''(x)<0\)이면, 곡선 \(y=f(x)\)는 이 구간에서 위로 볼록하다.


어느 한 점 \(x=a\)에서 \(f'(a)=0\)이고 \(f''(a)>0\)이면 \(x=a\) 근처에서 함수가 아래로 볼록할 것이므로 함수 \(y=f(x)\)는 \(x=a\)에서 극소값을 가지게 됩니다. 따라서 다음을 얻습니다.

이계미분계수와 극값의 판정
두번 미분가능한 함수 \(f(x)\)가 \(f'(a)=0\)일 때
(가) \(f''(a)>0\)이면 \(f(a)\)는 극소값이다.
(나) \(f''(a)<0\)이면 \(f(a)\)는 극대값이다.


\(f''(a)=0\)이고, 점 \((a,f(a))\)의 앞뒤에서 \(f''(a)\)의 부호가 변화할 때, 점 \((a,f(a))\)를 \(y=f(x)\)의 변곡점이라고 합니다. 그래프의 모양은 변곡점을 중심으로 한 쪽에서 위로 볼록하면 다른 쪽에서는 아래로 볼록합니다.

예제: 함수 \(f(x)=x^4-2x^3+x^2\)의 증감표
도함수와 이계도함수를 구하면 \[f'(x)=4x^3-6x^2+2x=2x(2x-1)(x-1)\]\[f''(x)=12x^2-12x+2\]이므로 극값과 변곡점을 구할 수 있다. 또 증감표는 아래와 같이 그릴 수 있다.
\(x\) 0 \(\frac{3-\sqrt{3}}{6}\) \(\frac{1}{2}\) \(\frac{3+\sqrt{3}}{6}\) 1
\(f'(x)\) - 0 + + + 0 - - - 0 +
\(f''(x)\) + + + 0 - - - 0 + + +
f(x) ↘︎ 극소 ↗︎ 변곡점 ↗︎ 극대 ↘︎ 변곡점 ↘︎ 극소 ↗︎


지금까지 함수 \(y=f(x)\)의 그래프를 그릴 때 주목해야 할 사항들에 대해 알아보았습니다. 요약하면 다음과 같습니다.
(가) 곡선이 존재하는 범위
(나) 대칭성 (\(x\)축, \(y\)축, 원점 등에 대한)
(다) 좌표축과의 교점
(라) 함수의 증감과 극대 극소
(마) 곡선의 볼록과 변곡점
(바) 점근선

미분의 응용

최대값과 최소값

연속함수 \(f(x)\)가 닫힌구간 \([a,b]\)에서 정의되어 있을 때, 최대값과 최소값을 구하기 위해서는 그 구간 안의 극대값과 극소값, 그리고 \(f(a),f(b)\)의 값을 비교합니다. 그 중 가장 큰 것이 최대값, 가장 작은 것이 최소값이 되겠죠.

속도와 가속도

수직선 위를 움직이는 점 \(P\)의 \(t\)초 후 위치는 \(t\)에 관한 함수이므로 \(x=f(t)\)라 둘 수 있습니다. 시각이 \(t\)에서 \(t+\Delta t\)까지 변할 때 점 \(P\)의 위치 변화를 \(\Delta x\)라고 하면 \[\lim_{\Delta t\to0}\frac{\Delta x}{\Delta t}=\lim_{\Delta t\to0}\frac{f(t+\Delta t)-f(t)}{\Delta t}=f'(t)\]를 시각 \(t\)에서의 속도라고 하고, 이를 \(v(t)\)로 나타냅니다. 또 속도의 변화율을 가속도라 합니다. 가속도를 \(a\)라 하면 \[a=\frac{dv}{dt}=\frac{d^2x}{dt^2}=f''(t)\]입니다.


미분의 응용 파트 역시 고등수학과 100% 겹치기 때문에 연습문제는 생략합니다.

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