미분법

이번 글에서는 기초적인 미분법에 대해 알아봅니다.

목차

1. 함수의 극한과 연속

 - 함수의 극한

 - 함수의 연속성

2. 미분계수

 - 평균변화율

 - 미분계수

 - 연속함수와 미분가능한 함수

3. 도함수

 - 도함수의 정의

 - 다항함수와 분수함수의 미분

 - 합성함수 미분법

 - 음함수 미분법

작성하면서 참고한 자료

교양을 위한 대학 수학 1, 김성기 외

http://www.yes24.com/Product/Goods/92428551

교양을 위한 대학수학 1 - YES24

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미분은 시간의 흐름에 따라 주어진 양이 변화할 때, 그 달라지는 변화율을 살펴보는 도구라고 할 수 있습니다. 특히 어떤 양이 한없이 작아질 때 그에 대응하는 값이 어떻게 될지 생각하는 것이 바로 순간변화율의 개념이자 새로운 근대 수학의 출발점이 되었습니다.

함수의 극한과 연속

미분을 정의하기에 앞서 우선 함수값의 극한에 대해 공부해야 합니다. 정의역에 있는 점들이 특정한 값으로 가까이 갈 때 그에 대응하는 함수값들이 어디로 가까이 가는지 알아보는 것이 함수의 극한입니다.

함수의 극한

우선, 우리는 연속함수의 핵심적 성질로 '그래프가 연결되어 있다'는 것을 알고 있습니다. 이와 비교하여 \(x\)가 \(x_0\)에 한없이 간다는 말을 할 때, 함수값 \(f(x_0)\)가 반드시 정의되어 있어야 할 필요가 없으므로, \(x=x_0\)에서 그래프가 연결되어 있지 않아도 그 극한을 논할 수 있습니다.

 

일반적으로 함수 \(y=f(x)\)가 주어지고, \(f\)의 정의역에서 \(x\)가 \(a\)와 다른 값으로부터 \(a\)에 한없이 가까이 갈 때(\(x\to a\)) \(f(x)\)가 \(b\)에 가까워지면, \(f(x)\)가 \(b\)로 수렴한다고 말하고 기호로 \[\lim_{x \to a} f(x)=b\]로 표현합니다.

한편 함수 \(y=f(x)\)에 대해 \(x\to a\)일 때 함수값이 양이면서 한없이 커지면, \(f(x)\)는 양의 무한대로 발산한다고 하고 기호로 \[\lim_{x \to a} f(x)=\infty\]로 표현합니다. 물론 한없이 작아지는 경우에는 음의 무한대로 발산한다고 합니다.

\(x\to a\)일 때 \(f(x)\)가 발산하는 경우에는, 무한대로 발산하지 않더라도 극한값이 존재하지 않는 경우가 있습니다. \(x\)가 \(a\)보다 큰 쪽에서 \(a\)에 가까워질 때의 극한을 우극한 \(\lim_{x \to a^{+}}f(x)\), 작은 쪽에서 \(a\)에 가까워질 때의 극한을 좌극한 \(\lim_{x \to a^{-}}f(x)\)로 나타냅니다. 두 극한이 모두 존재해서 그 값이 일치해야만 극한이 존재합니다.

 

함수의 극한은 더하기, 빼기, 곱하기, 나누기가 가능하고 순서도 바꿀 수 있습니다. 이에 대한 구체적인 수식 표현은 생략합니다. 단, 사칙연산을 한 두 함수가 모두 수렴할 때만 이 성질이 성립합니다.

흔히 \(\frac{\infty}{\infty}\), \(\frac{0}{0}\), \(\infty-\infty\), \(0\cdot\infty\) 꼴의 극한을 부정형이라고 합니다. 이 경우 주어진 식을 적당히 변형했을 때 극한값을 구할 수 있는 경우도 있습니다.

예제: \(\frac{0}{0}\)꼴의 극한
\[\begin{aligned} \lim_{x \to 1}\frac{x^3-1}{x-1}&=\lim_{x \to 1}\frac{(x-1)(x^2+x+1)}{x-1} \\ &=\lim_{x \to 1}(x^2+x+1)=3 \end{aligned}\]

예제: \(\frac{\infty}{\infty}\)꼴의 극한
\[\lim_{x \to \infty}\frac{x+1}{x-1}=\lim_{x \to \infty}\frac{1+1/x}{1-1/x}=1\]

예제: \(\infty-\infty\)꼴의 극한
\[\lim_{x \to \infty}(\sqrt{x}-\sqrt{x-1})=\lim_{x \to \infty}\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x-1}}=0\]

예제:  \(0\cdot\infty\)꼴의 극한
\[\lim_{x \to 0}\frac{\sqrt{x+1}-1}{x}=\lim_{x \to 0}\frac{1}{\sqrt{x+1}+1}=\frac{1}{2}\]

함수의 연속성

함수 \(y=f(x)\)의 정의역에 \(x=a\)가 속할 때, 다음 두 성질

(가) \(\lim_{x\to a}f(x)\)가 존재한다

(나) \(\lim_{x\to a}f(x)=f(a)=f\left(\lim_{x\to a}x\right)\)이다

을 만족시키면 \(y=f(x)\)는 \(x=a\)에서 연속이라고 합니다.

 

함수의 극한에 대한 성질로부터 곧바로 다음의 연속함수의 성질을 얻습니다.

연속함수의 성질
두 함수 \(f(x),g(x)\)가 \(x=a\)에서 연속이면 다음 함수 \[f(x)\pm g(x),f(x)g(x),cf(x),\frac{f(x)}{g(x)}\]도 \(x=a\)에서 연속이다. 단, \(c\)는 상수이고 \(\frac{f(x)}{g(x)}\)의 경우 \(g\neq 0\)인 때에 한한다.

 

이를 요약하면 연속함수의 사칙연산은 다시 연속함수가 된다는 것입니다. 또, 연속인 함수의 정의 (나)에 의해 두 연속함수의 합성이 다시 연속함수인 것을 알 수 있습니다.

합성함수의 연속
함수 \(g\)가 \(a\)에서 연속이고, 함수 \(f\)가 \(g(a)\)에서 연속이면 합성함수 \(f\circ g\)는 \(a\)에서 연속이다.

 

 

한편, 함수가 어떤 구간에서 연속이면 그 그래프는 그 구간에서 연결되어 있으므로 다음의 정리를 얻습니다.

중간값정리
함수 \(f\)가 닫힌구간 \([a, b]\)에서 연속이고, \(f(a)\neq f(b)\)이면 \(f(a)\)와 \(f(b)\) 사이의 임의의 값 \(k\)에 대하여 \(f(c)=k\)인 점 \(c\)가 \((a,b)\) 안에 존재한다.

 

중간값정리는 방정식의 실근의 존재성을 판별하는 데 유용합니다. 만약 \(f(a)f(b)<0\)이면 \(f(c)=0\)인 \(c\)가 \(a\)와 \(b\) 사이에 있음을 알 수 있습니다.

 

또, 연속함수는 다음의 중요한 성질을 가집니다.

최대최소정리
함수 \(y=f(x)\)가 닫힌구간 \([a,b]\)에서 연속이면 이 구간에서 반드시 최대값과 최소값을 가진다.

 

지금까지 알아본 함수의 극한과 연속함수의 핵심 성질들을 증명하지 않은 것은 함수의 극한의 엄밀한 정의와 실수의 정의가 이번 게시물의 범위를 벗어나기 때문입니다. 추후에 관련된 게시물을 작성하도록 하겠습니다.

미분계수

위에서 언급한 순간변화율이 바로 미분계수입니다. 미분계수의 정의를 알아봅시다.

평균변화율

함수의 증분 \(\Delta f=f(a+\Delta x)-f(a)\)를 \(\Delta x\)로 나눈 몫 \[\frac{\Delta f}{\Delta x}=\frac{f(a+\Delta x)-f(a)}{\Delta x}\]을 \(x\)가 \(a\)부터 \(a+\Delta x\)까지 변할 때 함수 \(f\)의 평균변화율이라고 합니다.

 

이는, 함수 \(y=f(x)\)의 그래프 위의 두 점 \((a,f(a)),(a+\Delta x,f(a+\Delta x))\)을 지나는 직선의 기울기와 같습니다.

미분계수

미분계수의 정의
점 \(x=a\)에서 함수 \(f(x)\)의 미분계수 \(f'(a)\)는 \[f'(a)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(a+\Delta x)-f(a)}{\Delta x}=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\]이다.

 

위 정의는 \(\Delta x\)가 \(0\)으로 가까이 갈 때 평균변화율의 극한값과 같으므로, 미분계수를 순간변화율이라고도 부릅니다. 또 \(f'(a)\)는 \(x=a\)에서 곡선 \(y=f(a)\)의 접선의 기울기를 나타냅니다. 만약 극한값 \(f'(a)\)가 존재한다면 함수 \(f\)는 \(x=a\)에서 미분가능하다고 합니다.

 

다음의 우극한 \[\lim_{\Delta x\to 0^{+}}\frac{f(a+\Delta x)-f(a)}{\Delta x}\]이 존재하면 그 값을 \(f'_{+}(a)\)로 나타내고 \(x=a\)에서 \(f\)의 우미분계수라고 합니다. 마찬가지로 좌극한 \[\lim_{\Delta x\to 0^{-}}\frac{f(a+\Delta x)-f(a)}{\Delta x}\]이 존재하면 그 값을 \(f'_{-}(a)\)로 나타내고 \(x=a\)에서 \(f\)의 좌미분계수라고 합니다. 극한의 정의로부터 \(f\)가 \(x=a\)에서 미분가능일 필요충분조건은 \(f'_{+}(a)\)와 \(f'_{-}(a)\)가 존재하고 그 값이 서로 같은 것임을 알 수 있습니다.

연속함수와 미분가능한 함수

함수 \(f\)가 \(x=a\)에서 미분가능하면 \[\begin{aligned}\lim_{\Delta x \to 0}\{f(a+\Delta x)-f(a)\}&=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(a+\Delta x)-f(a)}{\Delta x}\cdot\Delta x\\&=f'(a)\cdot 0=0\end{aligned}\]이므로 \(\lim_{x\to a}f(x)=f(a)\)입니다. 따라서 \(f\)는 \(x=a\)에서 연속입니다.

간단히 말해서, 미분가능하면 연속이다.
함수 \(f\)가 \(x=a\)에서 미분가능하면, \(f\)는 \(x=a\)에서 연속이다.

 

위 명제의 역은 성립하지 않습니다. 즉, 연속이라도 미분가능하지 않은 함수가 있을 수 있습니다. 예를 들어 함수 \(y=|x|\)는 연속이지만 \(x=0\)에서 미분가능하지 않습니다.

도함수

함수의 정의역에 있는 각 점에 미분계수를 대응시킨 새로운 함수를 원래 함수의 도함수라고 합니다. 몇 가지 기본적인 공식에 의해 함수의 도함수를 기계적으로 구할 수 있는데, 그 계산법도 함께 알아봅시다.

도함수의 정의

함수 \(f\)가 어떤 구간 \(I\)의 모든 점에서 미분가능할 때, \(f\)는 \(I\) 위에서 미분가능하다고 합니다. 이 때, 다음 \[f':x\to f'(x),\quad x\in I\]은 구간 \(I\) 위에서 정의된 새로운 함수가 되는데 이를 \(f\)의 도함수라고 합니다. 즉, \[f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\]입니다.

도함수의 정의
함수 \(f(x)\)의 도함수 \(f'(x)\)는 \[f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\]이다.

다항함수와 분수함수의 미분

우선, 상수함수 \(f(x)=c\)의 도함수를 정의에 따라 계산하면 \[f'(x)=\lim_{h\rightarrow0}\frac{c-c}{h}=0\]입니다.

 

또, 다항함수 \(f(x)=x^n\)의 도함수를 인수분해 공식 \[a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+\cdots+ab^{n-2}+b^{n-1})\]을 이용해 계산하면 \[\begin{aligned}f'(x)&=\lim_{h\rightarrow0}\frac{(x+h)^n-x^n}{h}\\&=\lim_{h\rightarrow0}\frac1h\{(x+h)-x\}\{(x+h)^{n-1}+(x+h)^{n-2}\cdot x+\cdots+x^{n-1}\}\\&=nx^{n-1}\end{aligned}\]입니다.

합, 곱, 몫의 미분법
두 함수 \(f,g\)가 어떤 구간에서 미분가능하면, 그 구간에서 다음이 성립한다.
(1) \(\{f(x)+g(x)\}'=f'(x)+g'(x)\)
(2) \(\{f(x)g(x)\}'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\)
(3) \(\left\{\frac{f(x)}{g(x)}\right\}'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{\{g(x)\}^2}\)

위 성질들을 도함수의 정의와 극한의 성질을 이용하여 증명해 봅시다.

\[\begin{aligned}\{f(x)+g(x)\}'&=\lim_{h\rightarrow0}\frac{\{f(x+h)+g(x+h)\}-\{f(x)-g(x)\}}{h}\\&=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}+ \lim_{h\rightarrow0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}\\&=f'(x)+g'(x)\end{aligned}\]

\[\begin{aligned}\{f(x)g(x)\}'&=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}\\&=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x+h)}{h}+\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(x)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}\\&=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\end{aligned}\]

\[\begin{aligned}\left\{\frac{f(x)}{g(x)}\right\}'&=\lim_{h\rightarrow0}\frac{\frac{f(x+h)}{g(x+h)}-\frac{f(x)}{g(x)}}{h}=\lim_{h\rightarrow0}\frac1h\frac{f(x+h)g(x)-f(x)g(x+h)}{g(x+h)g(x)}\\&=\lim_{h\rightarrow0}\frac1h\left\{\frac{f(x+h)g(x)-f(x)g(x)}{g(x+h)g(x)}-\frac{f(x)g(x+h)-f(x)g(x)}{g(x+h)g(x)}\right\}\\&=\lim_{h\rightarrow0}\frac{1}{g(x+h)g(x)}\left\{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}g(x)-f(x)\frac{g(x+h)-g(x)}{h}\right\}\\&=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{\{g(x)\}^2}\end{aligned}\]

곱 및 몫의 미분법을 증명할 때, 함수 \(g(x)\)가 미분가능한 점에서 연속이 됨을 사용하였습니다.

 

몫의 미분법을 이용하여 \(y=x^{-n}\) (\(n\)은 자연수)의 도함수를 구할 수 있습니다. \[y'=\left(\frac{1}{x^n}\right)'=\frac{-nx^{n-1}}{x^{2n}}=-nx^{-n-1}\] 따라서, 모든 정수 \(n\)에 대해 \[(x^n)'=nx^{n-1}\]이 성립함을 알 수 있습니다.

합성함수 미분법

\(y=f(u),u=g(x)\)의 도함수가 존재할 때, 합성함수 \(y=f(g(x))\)의 도함수를 구해 봅시다. \(\Delta x\)에 대한 \(u\)의 증분을 \(\Delta u=g(x+\Delta x)-g(x)\)라고 두면 \[\begin{aligned} (f\circ g)'(x)&=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{1}{\Delta x}[f(g(x+\Delta x))-f(g(x))]\\&=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{1}{\Delta x}[f(g(x)+\Delta u)-f(g(x))]\\&=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{1}{\Delta u}[f(g(x)+\Delta u)-f(g(x))]\cdot\frac{\Delta u}{\Delta x}\\&=f'(g(x))\cdot g'(x) \end{aligned}\]

합성함수 미분법 (연쇄법칙)
합성함수 \(y=f(g(x))\)의 도함수는 \[\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}=f'(u)g'(x)=f'(g(x))g'(x)\]로 주어진다.

음함수 미분법

함수를 \(f(x,y)=0\) 꼴로 나타낸 것을 음함수라고 합니다.

 

예제로 음함수 \(x^2+y^2=4\)에서 합성함수 미분법을 사용하여 \(y'\)을 구해 봅시다. 양변을 \(x\)에 대해 미분하면 \(\frac{d}{dx}(x^2+y^2)=2x+2y\cdot\frac{dy}{dx}=0\)이므로 \(\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}\)를 얻습니다.

 

일반적으로 음함수 \(f(x,y)=0\)을 미분할 때는 주어진 식의 양변을 \(x\)에 대해 미분한 다음 그 식을 정리하여 \(y'\)을 구합니다.

 

음함수의 미분법을 이용하여 \(y=x^{r}\) (\(r\)은 유리수)의 도함수를 구할 수 있습니다.

\(r=\frac{p}{q}\) (단 \(p,q\)는 정수)라 두고 \(y=x^r\)의 양변을 \(q\)제곱하면 \(y^q=x^p\)

이 식의 양변을 \(x\)에 관해 미분하면 \(\frac{d}{dx}y^q=qy^{q-1}\cdot\frac{dy}{dx}=px^{p-1}\)

따라서 \(\frac{dy}{dx}=\frac{px^{p-1}}{qy^{q-1}}=\frac pq\cdot\frac{x^{p-1}}{(x^{\frac pq})^{q-1}}=\frac pqx^{(p-1)-\frac{p(q-1)}{q}}=\frac pqx^{\frac pq-1}\)이고 \[y'=rx^{r-1}\]을 얻습니다.

 

마지막으로, \(f'(x)\)의 도함수 \[f''(x)=\frac{d^2y}{dx^2}=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f'(x+h)-f'(x)}{h}\]를 함수 \(f(x)\)의 이계도함수라 합니다.

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미분법 파트는 고등수학과 100% 겹치기 때문에 연습문제는 생략합니다.